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NCERT Solutions for Class 9th Mathematics

 

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Chapter 9. समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

प्रश्नावली 9.2

 

 

 

प्रमेय : 


प्रमेय 9.1 : सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बिच स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं | 

हल : 

दिया है : ||gm ABCD और ||gm EFCD 

एक ही आधार CD और AB || CD के मध्य स्थित है | 

सिद्ध करना है : 

ar(ABCD) = ar(EFCD) 

उपपति : 

 ΔADE तथा ΔBCF में 

    AD = BC    (||gm के सम्मुख भुजा बराबर होते हैं)

​ ∠DAE = ∠CBF (संगत कोण) 

 ∠AED = ∠BFC (संगत कोण) 

 ASA सर्वांगसमता नियम से 

ΔADE  ΔBCF

अत: ar(ADE) = ar(BCF) ........ (i) 

(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं )

अब, दोनों तरफ ar(EBCD) जोड़ने पर 

ar(ADE) + ar(EBCD) = ar(BCF) + ar(EBCD)

           ​ar(ABCD) = ar(EFCD)    Proved


प्रश्नावली 9.2


​Q1. 

हल : 

दिया है : E, F, G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज

ABCD कि भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं |

Q3. P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है | दर्शाइए ar (APB) = ar (BQC) है |

हल :

दिया है : P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD

की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है |

सिद्ध करना है :

ar(APB) = ar(BQC)

प्रमाण :

ΔAPB तथा ||gm ABCD एक ही आधार AB तथा AB || CD के मध्य स्थित है | 

Q4. P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थिति कोई बिंदु है | दर्शाइए कि 

हल :

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके अभ्यंतर P कोई बिंदु है |

सिद्ध करना है : 

रचना : P बिंदु से होकर AB के समांतर GH खिंचा और AD के समान्तर EF खिंचा |

प्रमाण :

AB || GH रचना से और AB = GH है इसलिए ABHG एक समांतर चतुर्भुज है |

इसी प्रकार DCHG भी एक समांतर चतुर्भुज है |

अब

ΔAPB तथा ||gm ABHG एक ही आधार AB तथा AB || GH के मध्य स्थित है | 

Q5. PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है | दर्शाइए कि : 

हल :

दिया है : PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है |

सिद्ध करना है : 

प्रमाण :

||gm PQRS तथा ||gm ABRS एक ही आधार SR तथा SR|| PB के मध्य स्थित हैं |

इसलिए प्रमेय 9.1 से

ar(PQRS) = ar(ABRS)   ........ (i) Proved

अब, ΔAXS तथा ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा AS || BR के मध्य स्थित है |

Q6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज (PQRS) के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

 

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