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NCERT Solutions for Class 9th Mathematics

 

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Chapter 8. चतुर्भुज

प्रश्नावली 8.2

 

 

 

Exercise 8.2


Q1.  ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं | AC उसका एक विकर्ण है | दर्शाइए कि 

हल :

दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं |

सिद्ध करना है : 

(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है)  .

इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |

Q2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

हल :

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S

क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।

सिद्ध करना है :

PQRS एक आयत है |

प्रमाण : त्रिभुज ADC में

AD तथा CD का मध्यबिंदु क्रमश: S तथा R है | (दिया है )

(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है)  .

इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |

चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है |

इसलिए, AOD = 90

या      MON = 90

(समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं !)

अब  SR || AC और SP || BD है

तो   SMON भी एक समान्तर चतुर्भुज है |

इसलिए MSN = MON = 90 (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

या     PSR = 90

अत: PQRS एक आयत है | Proved

Q3. ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं | दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है |

हल :

दिया है : ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं |

सिद्ध करना है :

PQRS एक समचतुर्भुज है |

रचना : A को C से मिलाया |

प्रमाण : त्रिभुज ADC में

AD तथा CD का मध्यबिंदु क्रमश: S तथा R है | (दिया है )

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय से 

(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है)  .

इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |

अब,      चूँकि ABCD एक आयत है |      

इसलिए ,  AB || CD  या  SQ || CD  ...(i)

(क्योंकि S तथा Q AD तथा BC के मध्य-बिंदु है |)

इसीप्रकार AD || PR  ...... (ii)  

अत: समीकरण (i) तथा (ii) से 

DSOR एक समान्तर चतुर्भुज है |

इसलिए, SOR = D  (समान्तर चतुर्भुज कि सम्मुख भुजा)

जबकि, D = 90  (आयत का प्रत्येक कोण)

इसलिए SOR = 90

चूँकि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं |

अत: PQRS एक समचतुर्भुज है |
(वह समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं समचतुर्भुज कहलाता है |)

Q4. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है । दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

हल : 

दिया है : ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है।

साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का

मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर

खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है ।

सिद्ध करना है : CF = BF

रचना : D को B से मिलाया जो EF को G पर प्रतिच्छेद करता है |

प्रमाण :

DABD में,

AB || EF ..... (i) (दिया है)

और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है | 

(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से

इसलिए बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है | .... (i)

अब   AB || CD   ....... (ii) (दिया है)

समीकरण (i) तथा (ii) से

CD || EF और बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है  [समीकरण (i) से]

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से DBCD में

F भुजा BC का मध्य-बिंदु है |

इसलिए  CF = BF proved

Q5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं | दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं |

हल :

दिया है : एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F

क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं |

सिद्ध करना है : DP = PQ = QB

प्रमाण :

DABP में,

E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और AF||EC दिया है |

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से

Q भुजा PB का मध्य-बिंदु है |

अत: PQ = QB  .......... (i)

(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)

अब, DCDQ में,

F भुजा CD का मध्य-बिंदु है और AF||EC दिया है |

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से

P भुजा DQ का मध्य-बिंदु है |

इसलिए,  DP = PQ    ........ (ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

  DP = PQ = QB    Proved

Q6. दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

हल :

दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसके भुजाएँ

AB, BC, CD और DA का मध्य-बिंदु क्रमश:

P, Q, R और S है |

सिद्ध करना है : विकर्ण PR और SQ एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |

रचना : P, Q, R और S को मिलाया और A को C से मिलाया | 

(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है)  .

इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |

अब चूँकि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तो इसके विकर्ण PR और SQ एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |

(समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समद्विभाजित करते है |) 

Q7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खिंची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि 

हल :

दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसका

कोण C समकोण है | कर्ण AB के मध्य-बिंदु

M से होकर BC के समांतर खिंची गई रेखा

AC को D पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : 

प्रमाण : (i)  DABC में

M भुजा AB का मध्य-बिंदु है और MD || BC है |

अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से

(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)

इसलिए, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है |

अत: AD = CD ........ (i)

(ii)  MD || BC दिया है और AC एक तिर्यक रेखा है | 

 

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