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NCERT Solutions for Class 9th Mathematics

 

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Chapter 6. रेखाएँ और कोण

प्रश्नावली 6.1

 

 

 

अभ्यास 6.1



Q1.  आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि  ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए | 

हल:

 ∠BOD = 40°

∠AOC  = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)

∠AOC = 40°

∠AOC  + ∠ BOE = 70° (दिया है)

∠BOE = 70°

∠BOE = 70° - 40°

∠BOE = 30°

चूँकि, AOB एक सरल रेखा है | 

इसलिए, ∠AOC +  ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)

⇒ 70° + ∠COE = 180°

⇒ ∠COE = 180° - 70°

⇒ ∠COE = 110°

प्रतिवर्ती ∠COE = 360 - 110°

                       = 250°

Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ  XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और = 2 : 3 है तो  c  ज्ञात कीजिए

हल :

∠POY=90° (दिया है) 

माना  ∠a और ∠b = 2x और 3x है | 

चूँकि, XOY एक सरल रेखा है | 

इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म) 

⇒ 2x + 3x + 90°= 180°

⇒ 5x  = 180° ­­- 90°

⇒ 5x = 90°

⇒ x = 90°/5

⇒ x = 18°

अब, ∠a = 2 x 18°

             = 36°

         ∠b =3 x 18°

               = 54°

यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |    

∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)

∠54° + ∠c = 180°

⇒∠c = 180°- 54°

          =126°

Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है | 

हल : 

दिया है : ∠PQR = ∠PRQ

सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT

प्रमाण

∠PQS + ∠PQR = 180°  .................. (1)  रैखिक युग्म

∠PRT + ∠PRQ = 180°  .................. (2)  रैखिक युग्म

समीकरण (1) तथा (2) से 

       ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ 

Or,  ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR    (∠PQR = ∠PRQ दिया है) 

Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ | 

Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है| 

हल:

दिया है : x + y = w + z

सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |

प्रमाण : x + y + w + z = 360

अथवा   x + y + x + y = 360

 ⇒       2x + 2y = 360

 ⇒       2(x + y) = 360

 ⇒           x + y = 180०   (रैखिक युग्म) 

जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है | 

अत: AOB एक सरल रेखा है | Proved 

Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए : 

हल: 

दिया है :  POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS POR के बीच एक किरण है | 

सिद्ध करना है : 

प्रमाण : ∠ROQ = 90    ( दिया है ) 

अब,  ∠POR + ∠ROQ = 180     .... रैखिक युग्म 

या     ∠POR + 90 = 180 

या     ∠POR = 180 - 90 

या     ∠POR = 90 

∠ROS = ∠POR - ∠POS          ............... (1) 

और 

∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ          ............... (2) 

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर 

            ∠ROS + ∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ + ∠POR - ∠POS  

अथवा    2∠ROS = ∠QOS - 90 90 - ∠POS

 अथवा    2∠ROS = ∠QOS - ∠POS 

               

Proved

Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती  ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए | 

हल : 

∠ XYZ = 64°

YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है; 

इसलिए 

∠ QYP =  ∠ ZYQ     ............ (1) 

XY को बिंदु P तक बढाया गया है | 

 ∴ XYP एक सरल रेखा है |

अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180°   

                                                    (रैखिक युग्म) 

       64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°

      2∠ QYP = 180° - 64° 

      2∠ QYP = 116°

        ∠ QYP = 58°

∠ QYP =  ∠ ZYQ = 58°

∠ XYQ = ∠XYZ + ∠ ZYQ

            =  64° + 58°

            =  122°

प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° - 58° = 30

 

 

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