Study Materials

NCERT Solutions for Class 9th Mathematics

 

Page 4 of 5

Chapter 2. बहुपद

प्रश्नावली 2.4

 

 

 

प्रश्नावली 2.4


Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है |

(i) x3 + x2 + x + 1

(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1

(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

(iv) x3 - x3 - (2 + √2)x + √2

हल : (i) p(x) = x3 + x2 + x + 1

माना g(x) = x + 1 = 0

=>         x = - 1

अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से

p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |

अत: p(x) में x = -1 रखने पर

p(x) = x3 + x2 + x + 1

p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1

     = - 1 + 1 - 1 + 1

     = 0

चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है | 

हल : (ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

माना g(x) = x + 1 = 0

=>   x = - 1

अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से

p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |

अत: p(x) में x = -1 रखने पर

p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1

      = 1 - 1 + 1 - 1 + 1

      = 1

चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है | 

हल : (iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

माना g(x) = x + 1 = 0

=>   x = - 1

अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से

p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |

अत: p(x) में x = -1 रखने पर

p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1

p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1

      = 1 - 3 + 3 - 1 + 1

      = 1

चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है | 

माना g(x) = x + 1 = 0

=>   x = - 1

अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से

p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |

अत: p(x) में x = -1 रखने पर 

इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है | 

Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :

(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1

(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2

(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3

हल : (i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1

g(x) का शुन्यक => x + 1 = 0

अत: x = - 1

गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |

अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1  दिया है |

अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1 

          = 2 (-1) + 1 + 2 - 1

          = - 2 + 1 + 2 - 1

          = 0

चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2

g(x) का शुन्यक => x + 2 = 0

अत: x = - 2

गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |

अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1  दिया है |

अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1 

          = -8 + 12 - 6 + 1

          = 13 - 14

          = - 1

चूँकि p(-2) = - 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3

g(x) का शुन्यक => x - 3 = 0

अत: x = 3 

गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |

अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6  दिया है |

अब, p(3) = (3)3 - 4(3)2 + 3 + 6

         = 27 - 36 + 3 + 6

         = 36 - 36

         = 0

चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x - 3 p(x) का एक गुणनखंड है | 

Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :

(i) p(x) = x2 + x + k

(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2

(iii) p(x) = kx2√2x + 1

(iv) p(x) = kx2 – 3x + k

हल : (i) p(x) = x2 + x + k

x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

इसलिए x - 1 = 0 => x = 1

अत: 1 p(x) का शुन्यक है |

इसलिए p(1) = 0

अब p(x) = x2 + x + k = 0

   p(1) = (1)2 + (1) + k = 0

             1 + 1 + k = 0

                 2 + k = 0

                     k = - 2

हल : (ii) p(x) = 2x2 + kx + √2

चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

इसलिए x - 1 = 0 => x = 1

अत: 1 p(x) का शुन्यक है |

इसलिए p(1) = 0

अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0

   p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2  = 0

             2 + k + √2 = 0

                       k = - 2 - √2 

                       k = - (2 + √2) 

हल : (iii) p(x) = kx2√2x + 1

चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

इसलिए x - 1 = 0 => x = 1

अत: 1 p(x) का शुन्यक है |

इसलिए p(1) = 0

अब p(x) = kx2√2x + 1 = 0

   p(1) = k(1)2 - √2(1) + 1 = 0

               k - √2 + 1 = 0

                       k = √2 - 1

हल : (iv) p(x) = kx2 – 3x + k

चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

इसलिए x - 1 = 0 => x = 1

अत: 1 p(x) का शुन्यक है |

इसलिए p(1) = 0

अब p(x) = kx2 – 3x + k = 0

   p(1) = k(1)2 - 3(1) + k = 0

               k - 3 + k = 0

                  2k - 3 = 0

                      2k = 3

                       k = 3/2

Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :

(i) 12x2 – 7x + 1

(ii) 2x2 + 7x + 3

(iii) 6x2 + 5x – 6

(iv) 3x2 – x – 4

हल : (i) 12x2 – 7x + 1

=>     12x2 - 3x - 4x + 1  

=>     3x(4x - 1) - 1(4x - 1)

=>     (4x - 1) (3x - 1)

हल : (ii) 2x2 + 7x + 3

=>      2x2 + 6x + x + 3

=>      2x(x + 3) + 1(x + 3)

=>      (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x2 + 5x – 6

=>       6x2 + 9x - 4x - 6

=>       3x(2x + 3) - 2(2x + 3)

=>       (2x + 3) (3x - 2)

हल : (iv) 3x2 – x – 4

=>      3x2 - 4x + 3x - 4

=>      x(3x - 4) + 1(3x - 4)

=>      (3x - 4) (x + 1)   

Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :

(i) x3 – 2x2 – x + 2

(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5

(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20

(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1

हल : (i) x3 – 2x2 – x + 2

बहुपद का संभावित शुन्यक हैं - ±1 और ±2

अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर

p(x) = (1)3 - 2(1)2 - (1) + 2

    =  1 - 2 - 1 + 2

    =  0           

चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है | 

पहली विधि : x - 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर 

अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x - 1) (x2 - x - 2)     [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]

                     = (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)

                     = (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]

                     = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे | 

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x - 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x - 1 प्राप्त है |

x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) - x2 - x + 2

                = x2(x -1) - x(x - 1) - 2x + 2

                = x2(x -1) - x(x - 1) - 2(x - 1)

                = (x - 1) (x2 - x - 2)

                = (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)

                = (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]

                = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :

p(x) में x = 1, - 1, 2 और - 2 रखने पर

p(1) = 0 है | अत: x - 1 एक गुणनखंड है |  

अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2

         = (-1)3 - 2(-1)2 -(-1) + 2

         = -1 - 2 + 1 + 2

         = 0

अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2

        = (2)3 - 2(2)2 -(2) + 2

        = 8 - 8 - 2 + 2

        = 0

p(2) = 0 है अत: x - 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2

        = (-2)3 - 2(-2)2 -(-2) + 2

        = -8 - 8 + 2 + 2

        = -16 + 4 = -12

p(-2) ≠ 0 अत: - 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |

अत:  x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x - 1) (x + 1) (x - 2) उत्तर

हल : (ii) x3 – 3x2 – 9x – 5

बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |

बहुपद में x = -1 रखने पर

p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5

     = (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5

     = -1 – 3 + 9 – 5

     = 9 – 9

     = 0

अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |

x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) - 4x2 - 9x - 5

                 = x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5x - 5

                 = x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1)

                 = (x + 1) (x2 - 4x - 5)

                 = (x + 1) (x2 - 5x + x - 5)

                 = (x + 1) [x(x - 5) +1(x - 5)]

                 = (x + 1) (x - 5) (x + 1)

अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x - 5) और (x + 1) है | 

हल : (iii) x3 + 13x2 + 32x + 20

बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |

बहुपद में x = - 1 रखने पर

p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20

    = (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20

    = -1 + 13 + - 32 + 20

    = 33 - 33

    = 0

चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |

x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20

                      = x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20

                      = x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
                      = (x + 1) (x2 + 12x + 20)

                      = (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)

                      = (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]

                      = (x + 1) (x + 10) (x + 2)

अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है |

हल : (iv) 2y3 + y2 – 2y – 1

       = y2(2y + 1) -1(2y + 1)

       = (y2 - 1) (2y + 1)

       = (y + 1) ( y - 1) (2y + 1)

बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y - 1) और (2y + 1)हैं |

 

 

 

Page 4 of 5

 

Chapter Contents: