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NCERT Solutions for Class 10th Mathematics

 

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Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.3

 

 

 

प्रश्नावली 4.3


 

Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |

(i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x2 + x - 4 = 0 

 (iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0

 (iv) 2x2 + x + 4 = 0 

हल : 2x- 7x + 3 = 0

a = 2, b = -7 और c = 3

D = b- 4ac

D = (7)- 4x2x3

D = 49 - 24

D = 25 

b- 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

2x- 7x + 3 = 0 

दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर 

8(2x- 7x + 3 = 0) 

16x- 56x + 24 = 0 

( (4x)- 2.4x.7 + (7)2 ) - (7)2 + 24 = 0   ( a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 )

(4x - 7)- 49 + 24 = 0 

(4x - 7)- 25 = 0

(4x - 7)= 25

4x - 7 = 25

हल : (ii)  2x2 + x - 4 = 0 

a = 2, b = 1 और c = -4

D = b- 4ac

D = (1)- 4x2x(-3)

D = 1 + 24

D = 25 

b- 4ac > 0 

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0 

a = 2, b = 1, c = 4

D = b- 4ac

D = (1)- 4 × 2 × 4

D = 1 - 32

D = -31 

b- 4ac < 0 अर्थात D < 0

अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |

Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात  कीजिए |

हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है -

(i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x2 + x - 4 = 0 

हल : (i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = - 7, c = 3 

हल : (ii)  2x2 + x - 4 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = 1, c = - 4

Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

द्विघाती सूत्र से -

हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x - 3 वर्ष 

=> x2 + 2x - 15 = 3(2x + 2)

=> x2 + 2x - 15 = 6x + 6

=> x2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0

=> x2 - 4x - 21 = 0

=> x2 - 7x + 3x - 21 = 0

=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0

=> (x - 7) (x + 3) = 0

=> x - 7 = 0, x + 3 = 0

=> x = 7 और x = - 3

अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है | 

Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |

हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |

इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - x

प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 - x - 3) = 210

या   (x + 2) (27 - x) = 210

या   27x - x2 + 54 - 2x = 210

या   25x - x2 + 54 = 210

या   x2 - 25x + 210 - 54 = 0

या   x2 - 25x + 156 = 0

या   x2 - 12x - 13x + 156 = 0

या   x(x - 12) - 13(x - 12) = 0

या   (x - 12) (x - 13) = 0

या   x - 12 = 0, x - 13 = 0

या   x = 12 अथवा x = 13

अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 12 = 18

और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 13 = 17 

Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m

तो बड़ी भुजा = x + 30 m और

विकर्ण = x + 60 m

प्रश्नानुसार,

चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,

पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से -

    AC2 = AB2 + BC2

=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2

=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900

=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900

=> 2x2 - x2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0

=> x2 - 60x - 2700 = 0

=> x2 - 90x + 30x - 2700 = 0

=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0

=> (x - 90) (x + 30) = 0

=> x - 90 = 0, x + 30 = 0

=> x = 90 और x = - 30

चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती

अत: छोटी भुजा = 90 m

तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m  

Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना बड़ी संख्या = x

तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x

प्रश्नानुसार,

बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180

   x2 - 8x = 180

या  x2 - 8x - 180 = 0

=>  x2 - 18x + 10x - 180 = 0

=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0

=> (x - 18) (x + 10) = 0

=> x - 18 = 0, x + 10 = 0

=> x = 18 और x = -10

अत: बड़ी संख्या 18 है, x = - 10 नहीं लिया जा सकता |

अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144

Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तय दुरी = 360 km 

चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है | 

चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h

हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |

तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x - 10 घंटे में 

(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )

अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा - 25 घंटे में

तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 - 10 = 15 घंटे में    

Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h

मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km 

- 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे

अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h

Q11  दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2  है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m

पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m

प्रश्नानुसार, स्थित I

4x - 4y = 24 

x = 18, x = - 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )

पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 - 6 = 12 m 

                                                

 

 

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