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NCERT Solutions for Class 10th Mathematics

 

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Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.2

 

 

 

प्रश्नावली 4.2 

Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :  

(i) x2 - 3x - 10 = 0

हल : x- 3x - 10 = 0

x- 5x + 3x - 10 = 0

 x(x - 5) + 2(x - 5) = 0

(x - 5)(x + 2)  = 0 

x - 5 = 0 तथा x + 2 = 0

x = 5 तथा x = - 2

(ii) 2x​+ x - 6 = 0

हल :  2x​+ x - 6 = 0

2x2 + 4x - 3x - 6 = 0

x(x + 2 ) - 3(x + 2) = 0

(x + 2) (- 3) = 0

x + 2= 0 तथा - 3 = 0

= - 2 तथा 3

(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0

हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0

√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x +  5) - √2(√2x + 5) = 0

(√2x +  5) (x - √2) = 0

√2 x +  5 = 0 तथा x - √2 = 0

√2x = - 5 तथा x = √2 

x = - 5 /√2 तथा x = √2 

(iv) 2x- x + 1/8 = 0 

हल :  2x​- x + 1/8 = 0

 2x​- x + 1/8 = 0

(v) 100x2 - 20x + 1 = 0 

हल :   100x- 20x + 1 =  0 

100x- 10x - 10x + 1 =  0 

x(10x - 1) -1(10x - 1) = 0

(x - 1)(10x - 1) = 0

10x - 1 = 0 तथा 10x - 1 = 0

10x = 1 तथा 10x = 1

x = 1/10तथा x = 1/10

Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|

1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

हल :  जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45  

माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x

कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-

जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x - 5

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x - 5

                                = 40 - x

शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124

(x - 5)(40 - x) = 306 124

40x - x- 200 + 5x 124 

- x​+ 40x + 5x - 200 - 124 = 0

- x​+ 45x - 324 = 0

x​- 45x + 324 = 0

x​- 36x - 9x + 324 = 0

x(x - 36 ) - 9(- 36) = 0

(x - 36)(x - 9) = 0

x - 36 = 0 तथा x - 9 = 0

= 36 तथा 9
 
चूँकि x के दो मान है इसलिए  
  
 2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x 

 उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत =  55 - x रुपय

उस दिन कुल निर्माण लागत = 750

x(55 - x) = 750

55x - x2 = 750

- x​+ 55x - 750 = 0

 x​- 55x + 750 = 0

x​- 30x - 25x + 750 = 0

x(x - 30 ) - 25(x - 30) = 0

(x - 30)(x - 25) = 0

x - 30 = 0 तथा x - 25 = 0

x = 30 तथा x = 25

 

माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
                                  = 25 

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x 

                                   =  55 - 25

                                   = 30 रूपय 

Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |

हल : संख्याओं का योग = 27  

संख्याओं का गुणनफल = 182

माना पहली संख्या = x 

दूसरी संख्या = x + 1 

दोनों संख्या का गुणनफल = 182

x(27 - x) = 182

27x - x2 = 182

- x​+ 27x - 182= 0

 x​- 27x + 182 = 0

x​- 14x - 13x + 182 = 0

x(x - 14 ) - 13(x - 14) = 0

(x - 14)(x - 13) = 0

x - 14 = 0 तथा x - 13 = 0

x = 14 तथा x =13

पहली संख्या = x

          = 13

दूसरी संख्या = x + 1 

          = 13 + 1

          = 14

Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306 

 माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग  =  365

(x)2 + (x + 1)2    = 365

x2 + x2 + 2x + 1 = 365

2x2  + 2x + 1 = 365

2x2 + 2x + 1 - 365 = 0

2x2 + 2x + 1 - 365 = 0

2x2 + 2x - 364 = 0

2(x2 + x - 182) = 0

x2 + x - 182 = 0/2

x2 + x - 182 = 0

x2 + 14x - 13x - 182 = 0

x(x + 14) - 13(x + 14) = 0

(x + 14) (- 13) = 0

x + 14 = 0 तथा - 13 = 0

= - 14 तथा 13
 
चूँकि  
 
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 13

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  x + 1 

                    = 13 + 1

                    = 14

Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7cm 

समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm 

पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2

AC2 = AB2 + BC)2

(13)2 = (x - 7)2 + (x)2

169 = x2 - 14x + 49 + x2

169 - 49= 2x2 - 14x  

120 = 2(x2 - 7x)

x2 - 7x = 2/120

x2 - 7x - 60 = 0 

x2 - 12x + 5x - 60 = 0

x(x - 12) + 5(x - 12) = 0

(x - 12) (x + 5) = 0

x - 12 = 0 तथा x + 5 = 0

x = 12 तथा x = - 5 
 
चूँकि  
 

समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

                       = 12 cm

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7 cm

                      = 12 - 7

                      = 5 cm

Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |

हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x 

 प्रत्येक नाग की निर्माण लागत =  2x + 3

उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये

x(2x + 3) = 90

2x+ 3x = 9

2x+ 3x - 90 = 0 

2x​+ 15x - 12x - 90 = 0

x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x - 6) = 0

2x + 15 = 0 तथा x - 6 = 0

x = - 15 तथा x = 6
 
माना उस दिन निर्मित बर्तनों  की संख्या = x
                                  = 6 

उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3

                                   =  2 x 6 + 3

                                   = 12 + 3 

                                   = 15 रूपये

 

 

 

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