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NCERT Solutions for Class 10th Mathematics

 

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Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1

 

 

 

प्रश्नावली 4.1 


Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)

हल :

(x + 1)2 = 2(x - 3)

⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6 

⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x2 + 7 = 0 

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)

हल :

x2 - 2x = - 6 + 2x 

⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0

⇒ x2 - 4x + 6 = 0 

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

हल :  (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

⇒ x2 + x - 2x -2  = x2 + 3x - x - 3

​⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x - x - 1  = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

 ⇒ 2x+ x - 6x - 3= x+ 5x

⇒ 2x- 5x - 3= x+ 5x

⇒  2x- x- 5x - 5x - 3  =  0

⇒  x- 10x - 3  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)

हल :  (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ 4x2 - 12x - 2x + 6 = x+ 4x - 5 

⇒ 4x- 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5 

⇒ 4x- x2 - 14x - 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x- 18x + 11  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)

हल : x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 

 x2 + 3x + 1 = x- 2x +4

⇒x- x+ 4x + 3x + 1 - 4 = 0

⇒ 7x - 3 =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1) 

हल :(x + 2)3 = 2x( x- 1) 

⇒ x+ 8 + 6 + 12x = 2x- 2x

⇒ 2x- x3 - 6-12x + 2x  - 8 = 0

⇒  x3 - 6x-10x - 8 =0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3  

हल : x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3  

⇒x3 - 4x2 - x + 1  = x3 - 8 + 6x+ 12x

⇒ x- x3 -  4x2 + 6x2 -12x + 1 = 0

⇒  2x-13x + 1 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 mहै | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

 माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

 आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

 आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

लंबाई x चौड़ाई = 528 

(2x + 1)x = 528 

2x2 + x 528 

2x2 + x - 528 = 0

2x2 + 33x - 32x - 528 = 0

x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (- 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा - 16 = 0

2x = - 33 तथा 16
= - 33/2 तथा 16
चूँकि  

आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m

                        = 16 

आयताकार भूखंड की लंबाई  2X+ 1 m

                        = x 16 + 1 m

                        = 32 + 1 m

                        = 33m   

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306 

 माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306 

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306   

(x + 1)x    = 306

x2 + x = 306 

x2 + x - 306 = 0

2x2 + 18x - 17x - 306 = 0

x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (- 17) = 0

x + 18 = 0 तथा - 17 = 0

= - 18 तथा 17
 
चूँकि  
 
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 17

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  x + 1 

                    = 17 + 1

                    = 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

         रोहन की माँ की आयु  x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3  

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   x + 26 + 3

                                   x + 29

 दोनो की आयु का गुणनफल = 306 

(x + 29)(x + 3) = 306   

x2 + 29x + 3x + 87 = 306 

x2 + 32x + 87 = 306          

x2 + 32x = 273

x2 + 32x - 273 = 0

x+ 39x - 7x - 273 = 0

x+ 39x - 7x - 273 =0 

x(x + 39) - 7(x + 39) = 0

(x + 39) (- 7) = 0

x + 39 = 0 तथा - 7 = 0

= - 39 तथा 7
 
चूँकि 
रोहन की वर्तमान आयु  = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु  =  x + 26 

                   =  7 + 26

                   = 33 वर्ष 

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

                                    

 

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