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NCERT Solutions for Class 10th Mathematics

 

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Chapter 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.4

 

 

 

प्रश्नावली 3.4 


Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ? 

(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4      

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2

(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7

विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है |  (ATP Education Help)

 

 

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1 

हल :(iii) 3x - 5y - 4 = 0

या       3x – 5y = 4 ......... (i)

         9x = 2y + 7

या       9x - 2y + 7

​ 

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = - 3

Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :

 

(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर 

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?

हल : माना नूरी की आयु x वर्ष

और सोनू की आयु y वर्ष

स्थिति I

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x - 5 वर्ष

सोनू की आयु = y - 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

     x - 5 = 5(y - 5)

या  x - 5 = 5y - 25

या  x - 5y = 5 - 25

या  x - 5y = - 20 ............ (i)

स्थिति II

दस वर्ष बाद,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

     x + 10 = 2(y + 10)

या  x + 10 = 2y + 20

या  x - 2y = 20 - 10

या  x - 2y = 10  ............ (ii) 

(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर 

अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |

(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |

हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |

और दहाई का अंक y है |

तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,

और पलटी हुई संख्या = 10x + y  

स्थित I

      x + y = 9 ........... (i)

स्थिति II

      9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)

या     9(10y + x) = 2(10x + y)

या     90y + 9x = 20x + 2y

या     20x - 9x + 2y - 90y = 0

या     11x - 88y = 0

या     x - 8y = 0

या     x = 8y ........... (ii)

समीकरण (i) में x = 8y रखने पर

      x + y = 9

या   8y + y = 9

या    9y = 9

या     y =  = 1

y = 1 समीकरण दो में रखने पर

x = 8y = 8 × 1 = 8

अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x

                 = 10 × 1 + 8

                 = 18 

(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |

हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |

और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |

स्थित I

कुल नोट की संख्या = 25

अत: x + y = 25  ........... (i)

अब स्थित II

     50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये

अत:  50x + 100y = 2000

या    x + 2y = 40   ........... (ii) (सरल करने पर)

               

(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |

हल : 

माना नियत किराया = x रुपया

और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया

स्थिति I

      x + 7y = 27  ......... (i)

स्थिति II

      x + 5y = 21 ........... (ii)

अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन  

 

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