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NCERT Solutions for Class 10th Mathematics

 

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Chapter 10. वृत्त

प्रश्नावली10.2

 

 

 

प्रश्नावली 10.2 


प्रश्न सं. 1,2, 3 में सही विकल्प चुनिए एंव उचित कारण दीजिए |

Q1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है | वृत्त की त्रिज्या है :

(A) 7 cm

(B) 12 cm

(C) 15 cm

(D) 24.5 cm 

उत्तर : 

त्रिज्या (OP) = ?

OQ = 24 cm, PQ = 25 cm 

चूँकि OP ⊥ PQ है, पैथागोरस प्रमेय से - 

PQ2 = OP2 + OQ2

252​ = ​ OP2 + 242

OP2 = 625 - 576 

OP2 = 49 

​OP = √49 = 7 cm 

Q2. आकृति 10.11 में, यदि TP केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार है की ∠POQ = 110, तो ∠PTQ बराबर है :

(A) 60

(B) 70o                                                                          

(C) 80

(D)  90o  

उत्तर : (B) 70

हल : ∠POQ +  ∠PTQ = 180

=>  110० + ∠PTQ = 180

=> ∠PTQ = 180 - 110

=> 70      

Q3. यदि एक बिन्दु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:

(A) 50

(B) 60

(C) 70

(D) 80

उत्तर : (A) 50

दिया है : ∠APB = 80

इसलिए, ∠APO = 80/2 = 40

​स्पर्श बिंदु पर ∠A = 90

त्रिभुज AOP में, 

=> ∠A + ∠APO + ∠POA = 180

=> 90 + 40 + ∠POA = 180 

=> ∠POA = 180 - 130

=> ∠POA = 50

Q4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती है |

हल : 

दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ AB तथा CD हैं जो वृत्त को X तथा Y पर क्रमश: स्पर्श करती है | 

सिद्ध करना है : AB || CD 

 

प्रमाण : 

OX ⊥ AB  (स्पर्श बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श बिंदु पर लंब होती है )

अत: ∠BXO = 90 ........ (i) 

इसीप्रकार, OY ⊥ CD 

अत: ∠DYO = 90 ........ (i) 

समीकरण (i) तथा (ii) जोड़ने पर 

   ∠BXO + ∠DYO = 90 + 90 

=> ∠BXO + ∠DYO = 180

चूँकि एक ही ओर से अंत:आसन्न कोण संपूरक हैं, इसलिए 

AB || CD Proved

Q5. सिद्ध कीजिए की स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है|

Q6.एक बिन्दु A से जो एक वृत्त के केंद्र से 5cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4cm है | वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

हल : बिंदु A से केंद्र की दुरी (OA) = 5 cm

स्पर्श रेखा AB की लंबाई = 4 cm

वृत्त की त्रिज्या OB = ? 

समकोण त्रिभुज AOB में, पैथागोरस प्रमेय से

OA2 = OB2 + AB2

   52 = OB2 + 42

   52 - 42 = OB2

  25 - 16 = OB2

OB2 = 9

OB =  = 3 cm 

Q7. दो सकेंद्रिय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm है | बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो |

हल : 

दो संकेंद्री वृत्त जिसका केंद्र O है और बड़े वृत्त की

जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है |

त्रिज्याएँ क्रमश: AO = 5 cm और OM = 3 cm है |

OM ⊥ AB है | (चूँकि जीवा को केंद्र से मिलाने वाली रेखाखण्ड जीवा पर लंब होती है |)

अत: समकोण त्रिभुज AOM में, पाइथागोरस प्रमेय से,

OA2 = OM2 + AM2

   52 = 32 + AM2 

   52 - 32 = AM2

  25 - 9 = AM2

AM2 = 16

AM =  = 4 cm

अत: AB = 2 × AM

        = 2 × 4 = 8 cm

जीवा की लंबाई 8 cm है |

Q8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति 10.12 ) | सिद्ध कीजिए : AB + CD = AD + BC.     

हल :

दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं |

सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC

प्रमाण : P और S स्पर्श बिंदु हैं |

अत: AP = AS   ............... (i)   प्रमेय 10.2 से

(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)

इसीप्रकार,

    BP = BQ   ............... (ii)

    CR = CQ   ............... (iii)

और DR = DS    ............... (iv)

समी० (i), (ii), (iii) और (iv) जोड़ने पर  

AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ

AB + CD = AD + BC Proved

Q9. आकृति 10.13 में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए की AOB = 90है |

हल :

दिया है : XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : AOB = 90

प्रमाण : 

DAOP और DAOC में

    PA = CA    (भुजा) प्रमेय 10.2 से

 APO = ACO   90प्रत्येक

   AO = AO     उभयनिष्ठ कर्ण

RHS सर्वांगसमता नियम से

DAOP @ DAOC

इसलिए, PAO = CAO   (i) BY CPCT

इसीप्रकार DBOQ @ DBOC

इसलिए, QBO = CBO   (ii) BY CPCT

अब XY || X'Y' दिया है |

इसलिए, PAC + QBC = 180  (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )

या   (PAO + CAO) + (QBO + CBO) = 180

या   (CAO + CAO) + (CBO + CBO) = 180   (समी० (i) तथा (ii) के प्रयोग से )

या   2 CAO + 2 CBO = 180

या   2 (CAO + CBO) = 180

या  CAO + CBO = 90    .............. (iii)

अब त्रिभुज AOB में,

    AOB + CAO + CBO = 180

    AOB + 90 = 180

    AOB = 180 - 90

    AOB = 90  Proved

Q10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है |

हल :

दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की की बाह्य बिंदु P से खिंची गई स्पर्श रेखाओं AP तथा BP है |

सिद्ध करना है : AOB + APB = 180


प्रमाण :

OA ⊥ AP  और OB BP  (चूँकि स्पर्श रेखा से केंद्र को मिलाने वाली रेखाखंड लंब होती है |)

अत: OAP = 90 ........... (i)

और OBP = 90 ........... (ii)

चूँकि APBO एक चतुर्भुज है इसलिए,

    OAP + AOB + OBP + APB = 360

=> 90 + AOB + 90 + APB = 360

=> 180 + AOB + APB = 360

=>  AOB + APB = 360 - 180

=>  AOB + APB = 180 Proved 

 

Q11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है |

हल : 

दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं |

सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है |


प्रमाण : चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए

     AB = CD  ............ (i)  (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

इसीप्रकार, BC = AD ......... (ii)

अब, P और S स्पर्श बिंदु हैं |

अत: AP = AS   ............... (iii)   प्रमेय 10.2 से

(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)

इसीप्रकार,

    BP = BQ   ............... (iv)

    CR = CQ   ............... (v)

और DR = DS    ............... (vi)

समी० (iii), (iv), (v) और (vi) जोड़ने पर 

    AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ

या  AB + CD = AD + BC 

या  AB + AB = AD + AD   समी० (i) तथा (ii) से

या  2 AB = 2 AD

या    AB = AD  ......... (vii)

समीकरण (i), (ii) और (vii) से

   AB = BC = CD = AD

अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | Proved

Q12. 4cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है की रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है ) की लंबाई क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं ( देखिए आकृति 10.14) | भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए |

हल : माना AF = AE = x cm  (प्रमेय 10.2 से)

इसी प्रकार CD = CE = 6 cm

और BD = BF = 8 cm

अत: AB = 8 + x cm, BC = 8 + 6 = 14 cm और AC = 6 + x cm

OD = OF = OE = 4 cm  (त्रिज्या)

अब त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन सूत्र से

a = 8 + x cm, b = 14 cm और c = 6 + x cm

समीकरण (i) और (ii) से चूँकि दोनों त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल हैं | 

=48x(14 + x) = [2(28 + 2x)]2   

=48x(14 + x) = [4(14 + x)]2   

=48x(14 + x) = [4 × 4 (14 + x)(14 + x)

=48x = 16 (14 + x)  सरल करने पर

=3x = (14 + x)  सरल करने पर

=3x - x = 14

=>  2x = 14

=>  x = 7

अत: भुजाएँ AB = 8 + 7 = 15 cm और AC = 6 + 7 = 13 cm 

Q13. सिद्ध कीजिए की वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने - सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं |

हल :

दिया है : ABCD O केंद्र वाले एक वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज है |

 

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